Sandsynlighedsregning med kort – formler, tal og eksempler

Sandsynlighedsregning med kort lyder som noget, der kræver en lommeregner. Det gør det sjældent.

Det meste af det, du har brug for ved et kortbord, bygger på én enkelt brøk og én vigtig skelnen: om kortene lægges tilbage eller ej. Når du først har de to ting på plads, kan du selv regne dig frem til oddsene i stort set alle de spil, du kender.

Her får du formlen, de faktiske tal for de mest almindelige situationer og de sandsynligheder, der gælder i poker, blackjack og bridge. Alle tal i artiklen er udregnet på et fuldt spil på 52 kort uden jokere.

Grundformlen

Sandsynlighed er et forhold mellem to tal:

Antal gunstige udfald ÷ antal mulige udfald

“Gunstige udfald” er de resultater, du er interesseret i. “Mulige udfald” er alle de resultater, der overhovedet kan ske. Sidstnævnte kaldes udfaldsrummet.

Et eksempel: Du vil trække et es. Der er fire esser i spillet, og i alt 52 kort at trække imellem.

4 ÷ 52 = 0,0769 → 7,7 %

Det er hele mekanikken. Alt andet i sandsynlighedsregning med kort er variationer over den brøk. Du kan altid gange resultatet med 100 for at få en procent, eller lade det stå som “4 ud af 52”, hvis det er hurtigere at overskue.

Et par begreber er værd at have styr på, fordi de går igen i alle udregninger:

• Hændelse — det, du regner på. “At trække et es” er en hændelse.
• Udfaldsrum — alle mulige resultater. Ved ét kort fra et fuldt spil er udfaldsrummet 52 kort.
• Uafhængige hændelser — to hændelser, hvor den ene ikke påvirker den anden.
• Afhængige hændelser — to hændelser, hvor den første ændrer forudsætningerne for den anden.

Den sidste skelnen er den, der afgør alt i kortspil.

Med eller uden tilbagelægning

Her ligger den fejl, der oftest bliver begået, når folk regner på kort.

Hvis du trækker et kort, kigger på det og lægger det tilbage, er bunken uændret næste gang. De to træk er uafhængige, og du ganger blot de to sandsynligheder direkte med hinanden.

Hvis du trækker et kort og beholder det — som man gør i praktisk talt alle rigtige kortspil — så er bunken ændret. Der er ét kort færre i alt, og ét kort færre af den slags, du lige trak. Trækkene er afhængige, og det skal regnestykket afspejle.

Tag det klassiske eksempel: hvad er sandsynligheden for at trække to esser i træk?

• Med tilbagelægning: 4/52 × 4/52 = 0,59 %. Bunken er den samme begge gange, så du ganger to ens brøker. Det sker næsten aldrig i virkelige spil.
• Uden tilbagelægning: 4/52 × 3/51 = 0,45 %. Efter det første es er der kun 3 esser tilbage – og kun 51 kort i bunken. Både tæller og nævner ændrer sig. Sådan fungerer rigtige kortspil.

Forskellen mellem 0,59 % og 0,45 % lyder lille. Over mange kort bliver den stor, og retningen er altid den samme: når du har set et kort, er det mindre sandsynligt at se magen til igen.

Det er præcis derfor et spil som bridge belønner hukommelse. Hvert kort, der bliver spillet, ændrer regnestykket for alle de kort, der er tilbage på de andre hænder.

Sådan regner du uden tilbagelægning

Reglen er enkel: opdater både tælleren og nævneren for hvert kort, du fjerner. Tælleren er antallet af de ønskede kort, der er tilbage; nævneren er antallet af kort i alt, der er tilbage.

Eksempel: hvad er sandsynligheden for tre hjerter i træk?

• Første kort: 13 hjerter ud af 52 kort
• Andet kort: 12 hjerter ud af 51 kort
• Tredje kort: 11 hjerter ud af 50 kort

13/52 × 12/51 × 11/50 = 1,29 %

Havde du lagt kortene tilbage hver gang, ville svaret være 25 % × 25 % × 25 % = 1,56 %. Igen: uden tilbagelægning bliver det sværere, fordi hver hjerter, du trækker, efterlader færre hjerter til det næste træk.

Sandsynlighed i poker

Poker er det spil, hvor sandsynlighed er bedst kortlagt, fordi antallet af mulige hænder er endeligt og kendt.

Trækker du fem kort fra et fuldt spil, findes der præcis 2.598.960 forskellige hænder. Tallet kommer af en kombinationsberegning – altså hvor mange måder man kan vælge 5 kort ud af 52, når rækkefølgen er ligegyldig (en hånd er den samme, uanset i hvilken orden kortene kom). Det er dette tal, der er nævneren i alle pokerudregninger.

Tabellen forklarer, hvorfor pokerhænderne rangerer, som de gør. Rangordningen er ikke en vilkårlig aftale – den er sorteret efter, hvor sjældne hænderne er. En royal flush slår et fuldt hus, fordi der findes 4 af den ene og 3.744 af den anden. Du kan se den fulde rækkefølge af pokerhænder, hvis du vil have selve rangordningen uden tallene.

De samme kombinationstal er beregnet og offentliggjort af blandt andre matematikinstituttet ved University of Hawaii, hvis du vil se udregningen bag hvert tal: Probability: 5-Card Poker Hands.

To tal er værd at huske fra tabellen:

• Over halvdelen af alle femkortshænder er ingenting – slet ingen kombination.
• Royal flush rammer cirka én gang ud af 649.740 hænder. Delte du én hånd ud i minuttet, otte timer i døgnet, ville det i gennemsnit tage over tre år at se den.

I poker med to lukkede kort – som Texas hold’em – er der en anden nyttig størrelse: sandsynligheden for at få et par udleveret er 3/51, altså 5,9 %, eller cirka én hånd ud af 17. Det andet kort skal matche det første, og der er tre matchende kort tilbage blandt de 51.

Sandsynlighed i blackjack

I blackjack er det mest kendte tal sandsynligheden for at få en natural – et es plus et kort med værdien ti på de to første kort.

Med ét spil kort er den 4,83 %. Med seks spil, som mange casinoer bruger, falder den en smule til 4,75 %.

Regnestykket ser sådan ud med ét spil: der er 4 esser og 16 kort med værdien ti (fire tiere plus tolv billedkort). Kombinationen kan komme i to rækkefølger – es først eller ti-kortet først – så vi ganger med 2:

2 × (4/52) × (16/51) = 4,83 %

Altså cirka én hånd ud af 21 – i et spil, der hedder 21. Det er et tilfælde, men et pænt et.

At tallet falder lidt med flere spil kort, skyldes samme mekanik som ovenfor: med 312 kort i stedet for 52 vejer det første es mindre tungt, når det fjernes, så bunken “husker” mindre.

Hvor mange måder kan et spil kort blandes på?

Dette er ikke en praktisk beregning, men det siger noget om, hvad tilfældighed i kortspil egentlig betyder.

Antallet af mulige rækkefølger for 52 kort er 52 fakultet – altså 52 × 51 × 50 × … × 2 × 1. Logikken er den samme som uden tilbagelægning: det første kort kan være ét af 52, det næste ét af de 51 tilbageværende, og så videre.

Resultatet er cirka 8,07 × 10⁶⁷. Skrevet ud er det et 68-cifret tal.

Til sammenligning anslås antallet af atomer i den observerbare del af universet til omkring 10⁸⁰. Antallet af kortrækkefølger er stadig et ufatteligt tal, blot mindre end dét.

Den praktiske konsekvens: hver gang et spil kort bliver ordentligt blandet, er rækkefølgen efter al sandsynlighed en, der aldrig har eksisteret før i verdenshistorien. Det forudsætter dog, at bunken faktisk bliver blandet grundigt – en håndfuld hurtige riffleblandinger er ikke nok til at nå ægte tilfældighed.

Hvad sandsynlighedsregning kan og ikke kan

Det er her, mange guides bliver upræcise, så lad os være tydelige.

Sandsynlighed forudsiger ikke det næste kort. Den beskriver fordelingen over mange gentagelser. At en hændelse har 25 % sandsynlighed, betyder ikke, at den sker hver fjerde gang – det betyder, at andelen nærmer sig hver fjerde over rigtig mange forsøg. Det kaldes de store tals lov.

Kortene har ingen hukommelse. Hvis du har trukket fem røde kort i træk fra en genblandet bunke, er sandsynligheden for rødt næste gang stadig 50 %. Troen på det modsatte – at rødt nu “skylder” en sort – kaldes spillerens fejlslutning.

“Mønstre” i tidligere runder er ikke information. Ved et blandet spil siger de foregående runder intet om den næste. Der er dog én vigtig undtagelse: i spil, hvor kortene ikke blandes mellem hver runde, er de allerede spillede kort ægte information. Det er derfor bridge og whist belønner hukommelse – og det er en helt anden ting end at “følge en trend”.

Sandsynlighed slår ikke husets fordel. I casinospil er den matematiske fordel bygget ind i udbetalingerne. Ingen beregning og intet indsatssystem ændrer den. Vi har en gennemgang af husets fordel i populære casinospil, hvis du vil se tallene.

Det, sandsynlighedsregning faktisk giver dig, er evnen til at sammenligne to valg og se, hvilket der er bedst i det lange løb. Det er nok – men det er også alt.

Sådan træner du hovedregningen

• Lær nævneren udenad — 52 kort, 13 af hver kulør, 4 af hver værdi, 12 billedkort, 16 kort med værdien ti. Har du de tal på plads, er halvdelen af arbejdet gjort. Se eventuelt vores gennemgang af hvor mange kort der er i et kortspil.
• Regn i “ud af”, ikke i procent — “fire ud af 52” er hurtigere at håndtere ved bordet end 7,7 %.
• Brug tommelfingerreglen for outs — mangler du et bestemt kort, så tæl hvor mange der er tilbage (dine “outs”), og divider med antallet af ukendte kort. Mangler du fx én af fire konger blandt 46 ukendte kort, er det 4/46 ≈ 8,7 %.
• Tjek dig selv bagefter — gæt sandsynligheden, regn den ud derhjemme, og se hvor tæt du var. Det er den hurtigste vej til en brugbar intuition.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er sandsynligheden for at trække et es?

7,7 %, altså 4 ud af 52. Trækker du et es og beholder det, falder sandsynligheden for endnu et es til 3 ud af 51, svarende til 5,9 %.

Hvad er forskellen på uafhængige og afhængige hændelser?

Uafhængige hændelser påvirker ikke hinanden – det gælder, hvis kortet lægges tilbage og bunken blandes. Afhængige hændelser gør, og det er tilfældet i næsten alle rigtige kortspil, hvor trukne kort bliver på hånden eller på bordet.

Hvor mange forskellige pokerhænder findes der?

2.598.960 forskellige femkortshænder fra et spil på 52 kort. Over halvdelen af dem indeholder ingen kombination overhovedet.

Hvor sandsynligt er det at få en royal flush?

Cirka 1 ud af 649.740 femkortshænder – omkring 0,000154 %. Det er den sjældneste hånd i poker, og det er præcis derfor, den rangerer højest.

Kan man vinde på sandsynlighedsregning alene?

Nej. Sandsynlighed hjælper dig med at sammenligne valg og vælge det bedste i det lange løb, men den forudsiger ikke enkelte kort og fjerner ikke husets fordel i casinospil.